人类思考离不开逻辑推理，逻辑对我们的社会和经济至关重要，更加为这个时代所需要。在“卡罗尔疑难”中，卡罗尔从未认为自己的疑惑是对推理规则有效性的否定，他只是希望能理解一切推理中的必然有效性来自何处。这种合法性来源的问题本质上不属于对逻辑系统性质的考察，也因此不是逻辑学家的本职工作，而是哲学家的任务。
推理规则与卡罗尔的童话
推理是我们日常生活中再熟悉不过的东西，但一个推理有效与否，逻辑连贯与否，是靠什么来判定的呢？比如在一个经典的三段论“如果人都没有翅膀，而且小明是人，那么小明没有翅膀”里面，我们是通过“人”“翅膀”和“小明”三个词的意思建立起推理关系的。所以得出“小明没有翅膀”是正确的推论，认为“小明有翅膀”则是一个错误推论。因为评判一个推论是否正确有效，并不是看推理过程中任何一句话本身的真假，而是看结论和前提的联结关系是否正确。
词项三段论推理是逻辑学的开端，后来的逻辑学家又把基于词项的推理扩展为基于句子形式的推理，建立起所谓的命题逻辑。命题逻辑一般不考虑句子具体说了什么，而是把整个句子用符号代替，继而考察符号之间的串联是否正确，是否符合推理规则。最基本的推理规则被称为“分离规则”，它说的是“如果‘若p则q’成立，并且p也成立，那么q成立”。换言之，分离规则意味着，如果“若p则q”这句话是真的，那么我们只要发现p为真，就必然会把q从两者的关系中“分离”出去，确认q也为真。逻辑学家证明，词项逻辑和命题逻辑的一切推理规则最终都可以转化或基于分离规则。
从古至今几乎没有人对分离规则提出过疑问，直到1895年，《爱丽丝梦游仙境》的作者刘易斯·卡罗尔在著名哲学杂志《心灵》（Mind）上发表了一篇只有两页半的论文，用爱丽丝式的童话风格讲了关于阿基里斯和乌龟的故事，对逻辑推理形式本身提出问题。卡罗尔引用哲学史上著名的“阿基里斯追乌龟”的悖论来说关于逻辑学的故事。在古希腊哲学家芝诺的原版故事里，阿基里斯似乎永远碰不到乌龟。而在卡罗尔的故事里，永远碰不到的是推理中的前提和结论。他想表明，看似能够一步到位的推理，换个角度看也许中间隔着无限长的逻辑距离——正如阿基里斯和乌龟之间的物理距离一样，换个角度看似乎永远无法消除。
卡罗尔的童话开篇是芝诺悖论的大结局，也就是阿基里斯经历千辛万苦终于追上了乌龟。乌龟向阿基里斯提出另一个追赶问题。它翻开《几何原本》，开始朗读第一道题里的几句话：1.等于同一个东西的事物彼此也相等；2.该三角形的两条边等于同一个东西；3.这两条边也相等。这是一个标准的三段论，显然，1和2结合在一起就能推出3，我们可以把整个推论写成一个句子：“若1和2成立，则3成立”。我们把这个句子称作4。
乌龟建议阿基里斯换个角度想想。如果不考虑这些句子的具体内容，而仅关注其形式，那么命题4的正确性就不同于1、2、3这些单个命题的正确性。因为根据命题逻辑，即使单个命题错误，甚至全都错误，整个条件句仍然可能是成立的，从1和2推出3的过程仍然可能是有效的推理。所以乌龟跟阿基里斯说，接受4，但不接受1，也不接受2，这从命题逻辑角度来看是完全可以设想的。
然后，乌龟又问阿基里斯：“反过来说，仅从推理结构上看，我们接受1和2，但不接受4，这有可能吗？”这里不考虑1和2两句话的实际内容，而只把它们当作命题符号。显然，这样一来，任何句子都不会天然指向其他句子，因此，接受1和2，但不接受3，也是完全可以设想的。而这就意味着我们可以设想一种很奇特的情形：接受1和2，但不接受4。
结合上述两点，就得到一个很反直觉的结论：似乎1、2、4三者彼此无关。那么我们怎么合理地推导出3呢？这就需要分离规则了。从形式上看，如果我们想从1和2过渡到3，那么就要接受4，因为这样，我们就可以用分离规则结合1、2、4，而分离出3。
在阿基里斯同意这点以后，乌龟就立刻指出，从形式上看，根据命题1、2、4得出3的做法，本身又可以写成一个新的条件句：“若1、2、4成立，则3成立。”而根据相同的理由，从形式上看，这个新条件句5也独立于1、2、4。因此，为了得到3，我们需要再次使用分离规则，联合1、2、4、5而分离出3——但这个分离过程本身又等价于另一个新条件句6。显然，无穷后退的悖谬已经出现，为了从1和2推出3，我们似乎需要插入无穷多的中间命题4、5、6……但这必定是荒谬的。
就像阿基里斯无论如何都能追上乌龟，我们也总能轻松地完成那个三段论推理，而不需要任何中间环节。卡罗尔最初投稿的时候，编辑也不明白中间环节的存在究竟有何意义。可见，理解卡罗尔的想法并非那么容易，而理解之后再去解决其中的悖论更不简单。
卡罗尔疑难的几种解决方案
在卡罗尔论文刊登之后数年，罗素在1903版的《数学原理》中称其为“卡罗尔疑难”，并提出了自己的解决方案。罗素区分了逻辑学里的“蕴涵”和“衍推”两个基本概念。“蕴涵”是一个复合命题内部的符号，表达的是命题内部的子命题之间的条件关系，比如“若p则q”就可以写成“p蕴涵q”。通过蕴涵联结，两个子命题合成了一个复合命题。而所谓的“衍推”，则是某个外部命题对于一组命题的后承关系，比如从1和2两个命题“推出”3。
在罗素看来，当我们在命题逻辑中说“p推出q”成立时，意思是对p的断定带来了对q的断定。而当我们说“p蕴涵q”成立时，并不表示我们对p或q中的任何一方进行断定，而是断定了p与q之间的联结关系本身。以此观之，卡罗尔从“断定1和2两个命题”到“断定3”的过程是一个衍推，但断定“若1和2成立，则3成立”就只是在断定一个蕴涵关系。而卡罗尔疑难最初只是在讲衍推，蕴涵式在衍推中并没有实质作用，所以整个推理过程不需要引入蕴涵式，这样就不会出现一连串条件命题了。
后来有不少学者持类似的看法，认为卡罗尔把衍推变成蕴涵，或者说把推理过程变成一个条件句，就是在误导读者了，以至于在没有问题的地方故意制造问题。所谓的“不考虑命题内容，只考虑形式上的关联”这个视角本身就是不对的，我们就应该考虑内容，这样一来，推理的有效性就非常直观。
上世纪中叶起，有些学者对卡罗尔疑难又提出另一种解决思路。它也是从一个区分开始的，但不是关于蕴涵和衍推，而是要区分推理活动的前提性命题和规则性命题。前提性命题就是形如p、q、r这样的东西，或者是由一些命题符号连接起来的复杂命题，比如“非p”“p或q”“p或q蕴涵r”等。我们可以把这些命题视为一个命题组，用符号表示就是{p1, p2, p3,...pn}。这些p可以解释为对具体事态的陈述，属于“一阶”命题。同时，推理规则本身也总是可以明确表达出来，因此也可以具有和普通命题相同的形式，但表达推理规则的命题是关于“如何从某些一阶命题得到其他一阶命题”的规范性陈述，因此，它不是关于具体事态的，而是关于一阶命题的命题，也就是“二阶”的。
基于这个区分，我们可以发现推理规则的意义和作用。一些学者指出，完整意义上的推理过程并不能仅由一阶命题的序列构成，还需要把推理规则（特别是分离规则）作为另一个核心要素凸显出来。换言之，我们不能像卡罗尔那样把分离规则当作普通的条件命题，也不能用其他方式把它变成一阶命题；同时，分离规则作为推理过程不可或缺的二阶要素，只有在它不处于一阶的层面上，才能发挥其效力，保证推理的正当性。
与此相关，还有少数学者提出一种取消性或实践性的思路。推理所依赖的规则仅仅是规范性的二阶命题，但既然它不描绘任何现实事物，那就谈不上真假。而对于谈不上真假的命题，我们自然会考虑进一步的问题：我们是不是真的要有这个玩意儿？比如维特根斯坦就认为，分离规则是一个没必要存在的东西，因为推论和前提的关系是否正当，是能够直接“映现”出来的，只要把前提和结论放在一起，就能立刻“看出”这种必然性，而不用额外引入任何规则来作保证。推理的有效性完全由前因后果自身体现，不需要也不存在任何其他条件为之背书。
到此为止，我们似乎发现卡罗尔悖论的本质并不复杂，它只是没有分清楚一些基本观念。一方面，它混淆了“蕴涵”和“衍推”的概念；另一方面，它还混淆了规范性命题与前提性命题，由此造成的困惑好像可以通过澄清概念和划分层次来解决。
卡罗尔疑难的哲学本质
但事情真有这么简单吗？恐怕不是。尽管现代逻辑学在19世纪末还不成熟，但很难相信逻辑学家卡罗尔不清楚蕴涵与衍推的差别。况且，命题逻辑中最为基础的演绎定理表明了，断言“p能推出q”和断言“p蕴涵q”是等价的。所以，关键不在于卡罗尔是否把推理过程变成了条件句，整个疑难也不是使用特定的表述方式导致的。毋宁说，卡罗尔选择的方式反而能把复杂的讨论浓缩进一个条件命题形式中，以此更好地表达出他的疑惑。如果我们退回到推理过程的原初形态，那么整个问题或许可以这样来提：为什么我们会觉得从大小前提得出结论是“自然而然”的？为什么我们会觉得从乌龟说的命题1和2里“显然”能推出3？为什么分离规则是“直觉上”正确的——或者说，为什么我们会觉得“如果‘若p则q’成立，并且p也成立，那么q不成立”显然是错误的、反直觉的？
以此观之，卡罗尔也不是对分离规则本身是否具有独特地位而感到困惑，他困惑的是其效力的起源，或者说推理规则本身的合法性来源。靠直接宣布分离规则的二阶地位或直接颁布其合法性，就完全错失了焦点。取消主义的做法也同样如此，因为就算分离规则可以扔掉，问题还是没有解决。根本的困惑不在于要不要把推理的必然性确立为一条规则，而在于这种必然性为何能“直接显现”自身，对推理正确性的“一眼看出”究竟源自何处。
如果前述解决方案都有缺陷，那么卡罗尔疑难怎么解决呢？在原版的阿基里斯悖论中，“距离”的问题能通过级数理论解决，但涉及“运动”概念时，就很难说存在严格意义上的“解决”。这里的问题出自对概念本身的理解，因此比起解决，更准确的定位是“解释”。只有一种解释切中了这个概念的实质，才可能视之为某种意义上的“解决”，因为此时我们较好地把握到了这个概念的形成方式和意义来源，不再对概念本身有神秘感或莫测高深的困惑。
卡罗尔从未认为自己的疑惑是对推理规则有效性的否定，正如古人疑惑心跳的原理并不意味着否认心跳现象。他只是希望能理解一切推理中的必然有效性来自何处。这种必然性位于一切逻辑关系的底层，因此其合法性来源的问题本质上不属于对逻辑系统性质的考察，也因此不是逻辑学家的本职工作，而是哲学家的任务。
哲学家在追溯和解释推理规则起源时，首先必须避开几个明显的误区。第一，注意不要陷入循环论证，即对推理规则效力起源的解释中不能使用“推理规则已经起效”这个事实。第二，不能简单地认为逻辑关系就像物理对象那样，其客观性与真理性完全独立于我们的认知而自动成立，否则必然性观念的起源问题会引出“因为它本身就这样”的退化性答案。而“事物本身就这样”并不能回答“为什么我们也会这样认为”的问题，正如物理学史所揭示的，物理知识并不是物理对象本身性质的直接反映，它在很大程度上是我们主体的理解框架、解释视角以及用现实的实验工具与其互动的结果。第三，不能因追溯起源问题而撼动逻辑的客观性，否则这种解释将失去意义，并且解释出来的东西并不是真正意义上的逻辑必然性。
所以，哲学家该怎么做呢？正面回答这个问题并不容易，也不能期望有什么捷径。但无论如何，在最显然、自然和必然的地方发现疑问，是哲学活动自身的品格，也是对我们所有人——不仅是专业的哲学工作者——都有启发的事情。像人生意义这样的宏大议题，不也是从这个角度开启的吗？
来源：社会科学报，9月25日
作者：钱立卿，上海社会科学院哲学研究所副研究员
